В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 30, sin A = (4)/(5). Найдите площадь треугольника ABC.

По рисунку видно, что треугольник ABC является равнобедренным с равными боковыми сторонами AB и BC, то есть AB = BC = 30. Тогда AC — основание треугольника, а углы при основании равны: A = C. Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые, то cos A > 0. Найдем cos A с помощью основного тригонометрического тождества: cos A = sqrt(1 - sin^2 A) = sqrt(1 - ((4)/(5))^2) = sqrt(1 - (16)/(25)) = sqrt((9)/(25)) = (3)/(5). Проведем высоту BH к основанию AC. В прямоугольном треугольнике ABH с прямым углом H: BH = AB * sin A = 30 * (4)/(5) = 24. AH = AB * cos A = 30 * (3)/(5) = 18. В равнобедренном треугольнике высота BH, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому: AC = 2 * AH = 2 * 18 = 36. Найдем площадь треугольника ABC: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 36 * 24 = 18 * 24 = 432.

432