Задача №10239

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB=30\text{,}$ $\sin A=\frac{4}{5}\text{.}$ Найдите площадь треугольника $ABC\text{.}$

По рисунку видно, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с равными боковыми сторонами $AB$ и $BC\text{,}$ то есть $AB=BC=30\text{.}$ Тогда $AC$ — основание треугольника, а углы при основании равны: $\angle A=\angle C\text{.}$

Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые, то $\cos A>0\text{.}$ Найдем $\cos A$ с помощью основного тригонометрического тождества:

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $ABH$ с прямым углом $H\text{:}$

В равнобедренном треугольнике высота $BH\text{,}$ проведенная к основанию, также является медианой, поэтому:

Найдем площадь треугольника $ABC\text{:}$