Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 96, боковая сторона равна 58. Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD = 96, BC = 16 и боковыми сторонами AB = CD = 58. Опустим из вершин B и C верхнего основания высоты на нижнее основание AD. Из-за симметрии равнобедренной трапеции нижнее основание разбивается на три части: два равных отрезка по краям и средний отрезок, равный верхнему основанию. Длина каждого крайнего отрезка: (AD - BC)/(2) = (96 - 16)/(2) = 40. Высоту трапеции h найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 58 (боковая сторона) и катетом 40: h = sqrt(58^2 - 40^2) = sqrt(3364 - 1600) = sqrt(1764) = 42. Теперь рассмотрим диагональ. Введём вдоль нижнего основания отсчёт от левой нижней вершины A. Тогда основание проекции диагонали (горизонтальное расстояние от вершины A до дальней верхней вершины) равно сумме крайнего отрезка и верхнего основания: 40 + 16 = 56. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 56 и h = 42: d = sqrt(56^2 + 42^2) = sqrt(3136 + 1764) = sqrt(4900) = 70. Ответ: 70.

70