Задача №10238

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD=96\text{,}$ $BC=16$ и боковыми сторонами $AB=CD=58\text{.}$

Опустим из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты на нижнее основание $AD\text{.}$ Из-за симметрии равнобедренной трапеции нижнее основание разбивается на три части: два равных отрезка по краям и средний отрезок, равный верхнему основанию.

Длина каждого крайнего отрезка:

$$\frac{AD-BC}{2}=\frac{96-16}{2}=40.$$

Высоту трапеции $h$ найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой $58$ (боковая сторона) и катетом $40\text{:}$

$$h=\sqrt{58^2-40^2}=\sqrt{3364-1600}=\sqrt{1764}=42.$$

Теперь рассмотрим диагональ. Введём вдоль нижнего основания отсчёт от левой нижней вершины $A\text{.}$ Тогда основание проекции диагонали (горизонтальное расстояние от вершины $A$ до дальней верхней вершины) равно сумме крайнего отрезка и верхнего основания:

$$40+16=56.$$

Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $56$ и $h=42\text{:}$

$$d=\sqrt{56^2+42^2}=\sqrt{3136+1764}=\sqrt{4900}=70.$$

Ответ: 70.