Задача №10237

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является биссектрисой угла $ABC\text{.}$

Следовательно, угол $ABK$ равен:

$$\angle ABK=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (угол $AKB=90^{\circ }$). В нём угол $\angle ABK=60^{\circ }\text{,}$ значит, острый угол $\angle BAK$ равен:

$$\angle BAK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BK$ лежит против угла $\angle BAK=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$BK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BK.$$

Подставим известное значение $BK=59\text{:}$

$$AB=2\cdot 59=118.$$

Ответ: $118\text{.}$