В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = (1)/(6)AB. Площадь треугольника AMK равна 3. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №10235: Планиметрия

Пусть $S$ — площадь треугольника $A B C .$

1. Медиана $B M$ делит треугольник $A B C$ на два равновеликих треугольника: $A B M$ и $C B M .$ Следовательно, площадь треугольника $A B M$ равна половине площади треугольника $A B C :$

S_{A B M} = \frac{1}{2} S .

2. Рассмотрим треугольники $A M K$ и $A B M .$ У них общая высота, проведённая из вершины $M$ к стороне $A B .$ Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $A K$ и $A B :$

\frac{S _{A M K}}{S _{A B M}} = \frac{A K}{A B} .

По условию задачи $A K = \frac{1}{6} A B,$ то есть $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{6} .$ Получаем:

S_{A M K} = \frac{1}{6} S_{A B M} .

3. Выразим площадь треугольника $A M K$ через площадь всего треугольника $A B C :$

S_{A M K} = \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{2} S) = \frac{1}{12} S .

По условию площадь треугольника $A M K$ равна 3. Подставим это значение:

3 = \frac{1}{12} S \Rightarrow S = 3 \cdot 12 = 36.

Ответ: 36

Задача №10235

Задача #10235

Решай похожие задачи

Информация

Задача #10235

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация