Задача №10232

В прямоугольной трапеции две боковые стороны: одна перпендикулярна основаниям (это высота трапеции), другая наклонная.

Углы при наклонной боковой стороне — внутренние односторонние при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Один из них равен $135^{\circ }\text{,}$ значит другой равен

$$180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }.$$

Опустим из вершины меньшего основания (длиной $3$) перпендикуляр на большее основание (длиной $8$). Получим прямоугольный треугольник, в котором:

1. горизонтальный катет равен разности оснований: $8-3=5\text{;}$
2. острый угол при большем основании равен $45^{\circ }\text{.}$

В прямоугольном треугольнике с острым углом $45^{\circ }$ второй острый угол тоже равен $45^{\circ }\text{,}$ значит треугольник равнобедренный и его катеты равны. Поэтому вертикальный катет (он же высота трапеции и перпендикулярная боковая сторона) равен $5\text{.}$

Наклонная боковая сторона — это гипотенуза этого треугольника:

$$5\sqrt{2}\approx 7,07,$$

что больше $5\text{.}$ Следовательно, меньшая боковая сторона — перпендикулярная, она равна $5\text{.}$

Ответ: 5