Задача №10230

Рассмотрим четырёхугольник $OACB\text{.}$

Поскольку $AC$ и $BC$ — касательные к окружности с центром $O\text{,}$ радиусы $OA$ и $OB\text{,}$ проведённые в точки касания $A$ и $B\text{,}$ перпендикулярны этим касательным:

$$\angle OAC=90^{\circ },\angle OBC=90^{\circ }$$

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{.}$ Следовательно, для четырёхугольника $OACB\text{:}$

$$\angle AOB+\angle OAC+\angle ACB+\angle OBC=360^{\circ }$$

Подставим известные значения:

$$\angle AOB+90^{\circ }+165^{\circ }+90^{\circ }=360^{\circ }$$ $$\angle AOB+345^{\circ }=360^{\circ }$$ $$\angle AOB=360^{\circ }-345^{\circ }=15^{\circ }$$

Ответ: 15