Задача №10228

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC\text{,}$ $AD=CD\text{,}$ $\angle B=55^{\circ }\text{,}$ $\angle D=137^{\circ }\text{.}$ Найдите величину угла $A\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Проведём диагональ $BD\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD\text{:}$
1. Сторона $AB=BC$ по условию.
2. Сторона $AD=CD$ по условию.
3. Сторона $BD$ — общая.

Следовательно, треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{:}$

Так как $\angle A=\angle C\text{,}$ подставим известные значения углов $\angle B=55^{\circ }$ и $\angle D=137^{\circ }\text{:}$

Ответ: $84^{\circ }\text{.}$