Задача №10227

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, также является его высотой. Следовательно, треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$ ($\angle AMB=90^{\circ }$).

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM\text{:}$

$$\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}.$$

Подставим известные значения $BM=15$ и $\mathrm{tg}A=\frac{15}{8}\text{:}$

$$\frac{15}{8}=\frac{15}{AM}⟹AM=8.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM$ найдём длину гипотенузы $AB\text{,}$ которая является боковой стороной исходного треугольника:

$$AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17.$$

Ответ: 17