Задача №10223

Обозначим точку пересечения двух секущих на прямой $m$ как $A\text{.}$

Пусть первая (более крутая) секущая пересекает прямую $n$ в точке $B\text{,}$ а вторая (менее крутая) — в точке $C\text{.}$ Таким образом, образуется треугольник $ABC\text{.}$

Найдем углы треугольника $ABC\text{:}$

1. По условию, угол $\angle 2$ при вершине $C$ равен $18^{\circ }\text{,}$ то есть:

$$\angle ACB=18^{\circ }$$

2. Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$ и секущую $AB\text{.}$ Угол $\angle 1=111^{\circ }$ и внутренний угол треугольника $\angle ABC$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых, следовательно, они равны:

$$\angle ABC=111^{\circ }$$

3. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ }\text{.}$ Угол $\angle 3$ является углом $\angle BAC$ этого треугольника:

$$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }$$

Подставим известные значения:

$$\angle 3+111^{\circ }+18^{\circ }=180^{\circ }$$ $$\angle 3+129^{\circ }=180^{\circ }$$ $$\angle 3=180^{\circ }-129^{\circ }=51^{\circ }$$

Ответ: 51.