Задача №10222

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ также является его медианой. Следовательно, точка $K$ — середина основания $AC\text{,}$ откуда получаем:

$$KC=\frac{AC}{2}=\frac{42}{2}=21$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ ($\angle BKC=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BC\text{:}$

$$BC=\sqrt{B{K}^2+K{C}^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$$

По условию точка $P$ — середина стороны $BC\text{,}$ значит, отрезок $KP$ является медианой прямоугольного треугольника $BKC\text{,}$ проведённой к гипотенузе $BC\text{.}$

Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы:

$$KP=\frac{BC}{2}=\frac{29}{2}=14,5$$