Задача №10220

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=24$ и $AD=31\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что треугольник $ABE$ равнобедренный. Найдите $ED\text{.}$

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, где $AB=24\text{,}$ $AD=31\text{.}$ Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, угол $ABC$ прямой, следовательно, $AB\perp BC\text{.}$

Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{.}$ Тогда отрезок $BE$ лежит на $BC\text{,}$ и угол $ABE$ прямой.

Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ Он прямоугольный с прямым углом $B\text{.}$ По условию треугольник $ABE$ равнобедренный. В прямоугольном треугольнике равнобедренность возможна, только если равны катеты. Следовательно, $AB=BE\text{.}$

Так как $AB=24\text{,}$ то $BE=24\text{.}$

Сторона $BC$ прямоугольника равна $AD=31\text{.}$ Поскольку $E$ лежит на $BC\text{,}$ то:
$EC=BC-BE=31-24=7\text{.}$

Теперь рассмотрим треугольник $ECD\text{.}$ В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, значит $CD=AB=24\text{.}$ Угол $BCD$ прямой, поэтому треугольник $ECD$ — прямоугольный с прямым углом $C\text{.}$

По теореме Пифагора:

Отсюда:
$ED=\sqrt{625}=25\text{.}$

Ответ: 25.