Задача №10219

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=43\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. В параллелограмме противоположные углы равны. По условию сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ поэтому:
$\angle A=\angle C=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{.}$

2. Соседние углы параллелограмма в сумме равны $180^{\circ }\text{.}$ Следовательно:
$\angle B=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

3. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Значит, все его стороны равны:
$AB=BC=CD=DA=43\text{.}$

4. В ромбе диагонали делят углы пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Тогда:
$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A=30^{\circ }\text{;}$
$\angle ABO=\frac{1}{2}\angle B=60^{\circ }\text{.}$

5. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $\angle AOB=90^{\circ }\text{.}$

6. Рассмотрим треугольник $AOB\text{:}$ $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ $\angle ABO=60^{\circ }\text{,}$ $\angle AOB=90^{\circ }\text{,}$ гипотенуза $AB=43\text{.}$ Это прямоугольный треугольник с углами $30^{\circ }\text{,}$ $60^{\circ }$ и $90^{\circ }\text{.}$

7. В таком треугольнике катет, лежащий против угла $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BO$ лежит против угла $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ поэтому:

8. Диагонали параллелограмма (и ромба) точкой пересечения делятся пополам, поэтому:
$BD=2\cdot BO=2\cdot 21,5=43\text{.}$

Ответ: 43.