Задача №10218

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$

Так как $BM$ — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, она также является его высотой. Значит, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M\text{.}$

Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ делит сторону $AC$ пополам:

$$AM=\frac{AC}{2}=\frac{128}{2}=64.$$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM\text{:}$

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2.$$

Подставим известные значения:

$$80^2=64^2+B{M}^2.$$ $$B{M}^2=80^2-64^2.$$ $$B{M}^2=6400-4096.$$ $$B{M}^2=2304.$$ $$BM=\sqrt{2304}=48.$$

Ответ: 48.