Задача №10218 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 80, AC = 128. Найдите длину медианы BM.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, следовательно, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Так как BM — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, она также является его высотой. Значит, BM AC, и треугольник ABM является прямоугольным с прямым углом при вершине M. Поскольку BM — медиана, точка M делит сторону AC пополам: AM = (AC)/(2) = (128)/(2) = 64. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABM: AB^2 = AM^2 + BM^2. Подставим известные значения: 80^2 = 64^2 + BM^2. BM^2 = 80^2 - 64^2. BM^2 = 6400 - 4096. BM^2 = 2304. BM = sqrt(2304) = 48. Ответ: 48.

48