Задача №10217

Так как $AB=BC=5\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Получаем:

$$AM=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM\text{:}$

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2.$$

Подставим известные значения:

$$5^2=4^2+B{M}^2.$$ $$25=16+B{M}^2.$$ $$B{M}^2=25-16=9.$$ $$BM=3.$$

Ответ: $3\text{.}$