Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 69 , боковая сторона равна 50 . Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC , причём AD = 69 (большее основание), BC = 41 , боковые стороны AB = CD = 50 . Проведём высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD . Тогда AH и KD — проекции боковых сторон на основание. Поскольку трапеция равнобедренная, AH = KD . Пусть AH = x . Тогда AD = AH + HK + KD = x + BC + x = 2x + 41 . Из уравнения 2x + 41 = 69 получаем: 2x = 28 => x = 14. Значит, AH = 14 . В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора находим высоту BH : BH = sqrt(AB^2 - AH^2) = sqrt(50^2 - 14^2) = sqrt(2500 - 196) = sqrt(2304) = 48. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACK , где K — основание высоты из C на AD . Тогда CK = BH = 48 , а отрезок AK = AH + HK = 14 + 41 = 55 . В прямоугольном треугольнике ACK по теореме Пифагора найдём длину диагонали AC : AC = sqrt(AK^2 + CK^2) = sqrt(55^2 + 48^2) = sqrt(3025 + 2304) = sqrt(5329) = 73. Ответ: 73

73