Задача №10208

В треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является медианой, следовательно, точка $M$ делит сторону $AC$ пополам:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{15}{2}=7,5.$$

Рассмотрим треугольник $BMC\text{.}$ По условию задачи $BC=BM\text{,}$ следовательно, треугольник $BMC$ — равнобедренный с основанием $MC\text{.}$

Высота $BH$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $AC\text{,}$ значит, $BH$ также является высотой треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к его основанию $MC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является и медианой. Таким образом, $BH$ — медиана треугольника $BMC\text{,}$ и точка $H$ делит отрезок $MC$ пополам:

$$MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{7,5}{2}=3,75.$$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=7,5+3,75=11,25.$$