В треугольнике ABC сторона AC = 15 , BM — медиана, BH — высота, BC = BM . Найдите длину отрезка AH .

В треугольнике ABC отрезок BM является медианой, следовательно, точка M делит сторону AC пополам: AM = MC = (AC)/(2) = (15)/(2) = 7,5. Рассмотрим треугольник BMC . По условию задачи BC = BM , следовательно, треугольник BMC — равнобедренный с основанием MC . Высота BH треугольника ABC перпендикулярна прямой AC , значит, BH также является высотой треугольника BMC , проведённой к его основанию MC . В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является и медианой. Таким образом, BH — медиана треугольника BMC , и точка H делит отрезок MC пополам: MH = HC = (MC)/(2) = (7,5)/(2) = 3,75. Длина отрезка AH равна сумме длин отрезков AM и MH : AH = AM + MH = 7,5 + 3,75 = 11,25.

11,25