В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 30. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

Задача №10204: Планиметрия

Обозначим катеты $a$ и $b,$ гипотенузу $c .$ По условию наибольший катет равен $24,$ а гипотенуза $c = 30 .$

Найдём второй катет по теореме Пифагора:

b = c^{2} - a^{2} = 3 0^{2} - 2 4^{2} = 900 - 576 = 324 = 18.

Итак, стороны треугольника равны $18,$ $24$ и $30 .$

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и равна половине третьей стороны. Значит, три средние линии равны половинам сторон:

\frac{18}{2} = 9, \frac{24}{2} = 12, \frac{30}{2} = 15.

Наименьшая средняя линия соответствует наименьшей стороне $18 :$

\frac{18}{2} = 9.

Ответ: 9.