Задача №10203

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=51$ и $AD=119\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

Прямоугольник $ABCD\text{:}$ $AB=51\text{,}$ $AD=119\text{.}$ Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $\angle B=90^{\circ }$ и $BC=AD=119\text{.}$

Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{.}$ Рассмотрим треугольник $ABE\text{:}$

1. $\angle ABE=\angle B=90^{\circ }$ (поскольку $E$ на $BC$ и $B$ — вершина прямоугольника).
2. $\angle EAB=45^{\circ }$ (дано).

Следовательно, $\angle AEB=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{,}$ поэтому треугольник $ABE$ равнобедренный с основанием $AE\text{:}$ $AB=BE=51\text{.}$

Тогда $BE=51\text{,}$ и поскольку $E$ на $BC\text{,}$ то $EC=BC-BE=119-51=68\text{.}$

Теперь рассмотрим треугольник $ECD\text{:}$

1. $\angle ECD=\angle C=90^{\circ }$ (прямой угол прямоугольника).
2. $EC=68$ (найдено выше), $CD=AB=51$ (противоположные стороны прямоугольника равны).

По теореме Пифагора:

Ответ: 85.