Задача №10202

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, является одновременно и медианой. Значит, точка $K$ — середина стороны $AC\text{,}$ и

$$AK=KC=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

Точка $P$ — середина стороны $BC$ по условию. Тогда отрезок $KP$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC\text{,}$ то есть является его средней линией. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине:

$$KP=\frac{AB}{2}.$$

Найдём $AB\text{.}$ Так как $BK\perp AC\text{,}$ треугольник $ABK$ прямоугольный с катетами $AK=12$ и $BK=5\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{K}^2+B{K}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

Следовательно:

$$KP=\frac{AB}{2}=\frac{13}{2}=6,5.$$

Ответ: 6,5