Задача №10200

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^{\circ }$) внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой же вершине являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$

Найдем внутренний угол $BAC\text{:}$

$$\angle BAC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдем угол $B\text{:}$

$$\angle B=90^{\circ }-\angle BAC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит напротив угла $B=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$AC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot AC.$$

Подставим длину катета $AC=50\text{:}$

$$AB=2\cdot 50=100.$$

Ответ: $100\text{.}$