Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 88, боковая сторона равна 53. Найдите длину диагонали трапеции.

Задача №10183: Планиметрия

Пусть $A B C D$ — равнобедренная трапеция с основаниями $B C = 32$ и $A D = 88,$ боковыми сторонами $A B = C D = 53 .$

Проведём высоту $B H$ из вершины $B$ к большему основанию $A D .$

1. Поскольку трапеция равнобедренная, высота $B H$ делит основание $A D$ на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований:

A H = \frac{A D - B C}{2} = \frac{88 - 32}{2} = 28.

Тогда отрезок $H D$ равен:

H D = A D - A H = 88 - 28 = 60.

2. Из прямоугольного треугольника $A B H$ ( $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора найдём высоту $B H :$

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}

B H^{2} = 5 3^{2} - 2 8^{2} = (53 - 28) (53 + 28) = 25 \cdot 81 = 2025

B H = 2025 = 45.

3. Из прямоугольного треугольника $B H D$ ( $∠ B H D = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора найдём диагональ $B D :$

B D^{2} = B H^{2} + H D^{2}

B D^{2} = 4 5^{2} + 6 0^{2} = 2025 + 3600 = 5625

B D = 5625 = 75.

Длина диагонали трапеции равна 75.