Задача №10182 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120^, AC = 15. Найдите диаметр окружности.

Углы COA и COB являются смежными, так как точки A , O и B лежат на одной прямой — диаметре AB . Сумма смежных углов равна 180^ : COA = 180^ - COB = 180^ - 120^ = 60^. Отрезки OA и OC — радиусы окружности, следовательно, OA = OC . Таким образом, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC . Поскольку угол при вершине COA = 60^ , углы при основании также равны 60^ : OCA = OAC = (180^ - 60^)/(2) = 60^. Следовательно, треугольник AOC является равносторонним, откуда радиус окружности равен: R = OA = AC = 15. Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: D = 2R = 2 * 15 = 30. Ответ: 30.

30