Задача №10177

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD\text{.}$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, откуда:

$$OC=\frac{1}{2}AC$$

По условию задачи, диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ ($AC=2AB$), следовательно:

$$AB=\frac{1}{2}AC$$

Таким образом, $OC=AB\text{.}$

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то $CD=AB\text{.}$ Получаем:

$$OC=CD$$

Следовательно, треугольник $OCD$ является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle ODC=\angle DOC$$

Сумма углов треугольника $OCD$ равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle OCD+\angle ODC+\angle DOC=180^{\circ }$$

Поскольку $O$ лежит на диагонали $AC\text{,}$ угол $OCD$ равен углу $ACD\text{,}$ то есть $\angle OCD=19^{\circ }\text{.}$ Подставим это значение в уравнение:

$$19^{\circ }+2\angle DOC=180^{\circ }$$ $$2\angle DOC=161^{\circ }$$ $$\angle DOC=80,5^{\circ }$$

Поскольку угол между диагоналями (угол между прямыми) традиционно определяется как острый или прямой (то есть не превосходящий $90^{\circ }$), а полученный угол $\angle DOC=80,5^{\circ }\le 90^{\circ }\text{,}$ искомый угол равен $80,5^{\circ }\text{.}$