Задача №10171

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны $17\text{,}$ $12$ и $13\text{.}$ Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Обозначим ширину левой и правой колонок прямоугольников как $a$ и $b\text{,}$ а высоту верхней и нижней строк — как $c$ и $d$ соответственно.

Тогда периметры четырех меньших прямоугольников выражаются следующим образом:

• Левый верхний: $P_{\text{л.в.}}=2(a+c)=17$
• Правый верхний: $P_{\text{п.в.}}=2(b+c)=12$
• Правый нижний: $P_{\text{п.н.}}=2(b+d)=13$
• Левый нижний: $P_{\text{л.н.}}=2(a+d)$

Сложим периметры левого верхнего и правого нижнего прямоугольников:

Заметим, что полученное выражение равно сумме периметров левого нижнего и правого верхнего прямоугольников:

Подставим известные значения периметров в полученное равенство:

Ответ: 18.