Задача №10167

Способ 1 (через сумму углов треугольника):

1. Рассмотрим треугольник, образованный двумя секущими и прямой $n\text{.}$ Пусть $A$ — точка пересечения секущих на прямой $m\text{,}$ $B$ — точка пересечения левой (более крутой) секущей с прямой $n\text{,}$ $C$ — точка пересечения правой секущей с прямой $n\text{.}$

2. Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол $\angle 1$ и внутренний угол $\angle ABC$ треугольника являются соответственными при параллельных прямых $m$ и $n$ и секущей $AB\text{.}$ Следовательно:

$$\angle ABC=\angle 1=117^{\circ }.$$

3. Внутренний угол $\angle ACB$ треугольника равен $\angle 2=24^{\circ }\text{.}$

4. Поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ найдем угол $\angle 3$ (который является углом $\angle BAC$ треугольника):

$$\angle 3=180^{\circ }-\angle ABC-\angle ACB=180^{\circ }-117^{\circ }-24^{\circ }=39^{\circ }.$$

---

Способ 2 (через свойства углов при параллельных прямых):

1. Угол, смежный с углом $\angle 1\text{,}$ равен:

$$180^{\circ }-117^{\circ }=63^{\circ }.$$

Этот угол образован правой частью прямой $m$ и левой секущей.

2. Данный угол величиной $63^{\circ }$ состоит из угла $\angle 3$ и угла между правой частью прямой $m$ и правой секущей.

3. Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол между правой частью прямой $m$ и правой секущей равен накрест лежащему углу $\angle 2=24^{\circ }\text{.}$

4. Из этого следует равенство:

$$\angle 3+24^{\circ }=63^{\circ }\Rightarrow \angle 3=63^{\circ }-24^{\circ }=39^{\circ }.$$