Задача №10165

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^{\circ }\text{.}$

Найдем внутренний угол $BAC$ этого треугольника, так как он смежный с внешним углом при вершине $A\text{:}$

$$\angle BAC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ найдем угол $B\text{:}$

$$\angle B=90^{\circ }-\angle BAC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит напротив угла $B=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$AC=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=2\cdot AC.$$

Подставим известное значение $AC=26\text{:}$

$$AB=2\cdot 26=52.$$

Ответ: 52