Задача №10162 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медиана BK=9, отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, равен 40. Найдите боковую сторону AB.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медиана BK, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, треугольник ABK — прямоугольный ( AKB = 90^). Так как отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и BC, он является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии: AC = 2 * MN = 2 * 40 = 80 Точка K — середина основания AC, поэтому: AK = (AC)/(2) = (80)/(2) = 40 Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора найдём гипотенузу AB: AB = sqrt(AK^2 + BK^2) = sqrt(40^2 + 9^2) = sqrt(1600 + 81) = sqrt(1681) = 41. Ответ: 41

41