Задача №10162

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK=9\text{,}$ отрезок $MN\text{,}$ соединяющий середины боковых сторон, равен 40. Найдите боковую сторону $AB\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK\text{,}$ проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB=90^{\circ }$).

Так как отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ он является средней линией треугольника $ABC\text{.}$ По свойству средней линии:

Точка $K$ — середина основания $AC\text{,}$ поэтому:

Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB\text{:}$

Ответ: 41