Задача №10160

Катет прямоугольного треугольника равен 24, одна из средних линий равна 3,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b\text{,}$ а гипотенуза — $c\text{.}$

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине. Таким образом, длины средних линий треугольника равны $\frac{a}{2}\text{,}$ $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}\text{.}$

Пусть один из катетов $a=24\text{.}$ Тогда средняя линия, параллельная ему, равна:

Так как заданная в условии средняя линия равна $3,5\text{,}$ она не может быть параллельна катету $a\text{.}$

Также эта средняя линия не может быть параллельна гипотенузе $c\text{.}$ Если бы она была параллельна гипотенузе, то гипотенуза была бы равна $c=2\cdot 3,5=7\text{.}$ Но гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше любого из его катетов (должно быть $c>24$), что приводит к противоречию.

Следовательно, средняя линия длиной $3,5$ параллельна второму катету $b\text{:}$

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

Ответ: 25.