Задача №10158

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC\text{,}$ $AC=8\text{,}$ $\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{3}{4}\text{.}$ Найдите длину стороны $AB\text{.}$

Так как $AB=BC\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому $H$ — середина $AC$ и

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ с прямым углом при вершине $H\text{.}$ По определению тангенса:

Отсюда:

По теореме Пифагора в треугольнике $ABH\text{:}$

Ответ: 5.