Задача №10157

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK\text{,}$ проведенная к основанию, также является его высотой, поэтому $BK\perp AC$ и треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом $K\text{.}$

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон треугольника $ABC\text{,}$ следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника. По свойству средней линии:

$$AC=2\cdot MN=2\cdot 24=48.$$

Так как $BK$ — медиана, точка $K$ является серединой стороны $AC\text{,}$ откуда:

$$AK=\frac{AC}{2}=24.$$

В прямоугольном треугольнике $ABK$ по теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{K}^2+B{K}^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25.$$

Ответ: $25$