Задача №10154

Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{,}$ а его периметр равен 40. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $P=40$ — его периметр.

1. У ромба все стороны равны. Найдем длину стороны ромба $a\text{:}$

2. У ромба противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{.}$ Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма соседних углов равна $180^{\circ }\text{,}$ данные два угла являются противоположными. Они не могут быть тупыми, так как сумма двух тупых углов больше $180^{\circ }\text{.}$ Значит, эти углы — острые. Каждый из них равен:

Пусть $\angle A=60^{\circ }\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{,}$ образованный сторонами $AB\text{,}$ $AD$ и меньшей диагональю $BD\text{.}$

Так как $AB=AD=10\text{,}$ треугольник $ABD$ — равнобедренный. Угол при вершине $\angle A=60^{\circ }\text{,}$ следовательно, углы при основании равны:

Таким образом, треугольник $ABD$ — равносторонний, и его сторона $BD$ равна сторонам $AB$ и $AD\text{:}$

Ответ: 10