Задача №10146

Найдем внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$ и $C\text{.}$ Так как внешние углы при этих вершинах равны $150^{\circ }\text{,}$ то:

$$\angle A=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$ $$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$

Поскольку $\angle A=\angle C=30^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{,}$ следовательно, $AB=BC=66\text{.}$

Биссектриса $BK\text{,}$ проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой, поэтому $\angle AKB=90^{\circ }\text{,}$ и треугольник $ABK$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ лежит против угла $\angle A=30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы:

$$BK=\frac{1}{2}AB=\frac{66}{2}=33$$