Задача №10143 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

Сумма двух углов ромба равна 240^, а его меньшая диагональ равна 24. Найдите периметр ромба.

Пусть ABCD — данный ромб, в котором углы A и C — острые, а B и D — тупые. Сумма двух углов ромба может быть равна 240^ только в том случае, если это два противоположных тупых угла, так как сумма двух соседних углов ромба всегда равна 180^, а сумма двух острых углов меньше 180^. Таким образом: B + D = 240^ => B = D = 120^. Острый угол ромба равен: A = C = 180^ - 120^ = 60^. Меньшая диагональ ромба BD делит его на два треугольника. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны как стороны ромба, а угол между ними BAD = 60^. Следовательно, треугольник ABD является равносторонним. Отсюда длина стороны ромба равна длине его меньшей диагонали: AB = AD = BD = 24. Периметр ромба равен произведению длины его стороны на 4: P = 4 * AB = 4 * 24 = 96. Ответ: 96

96