Задача №10143

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором углы $\angle A$ и $\angle C$ — острые, а $\angle B$ и $\angle D$ — тупые.

Сумма двух углов ромба может быть равна $240^{\circ }$ только в том случае, если это два противоположных тупых угла, так как сумма двух соседних углов ромба всегда равна $180^{\circ }\text{,}$ а сумма двух острых углов меньше $180^{\circ }\text{.}$

Таким образом:

$$\angle B+\angle D=240^{\circ }\Rightarrow \angle B=\angle D=120^{\circ }.$$

Острый угол ромба равен:

$$\angle A=\angle C=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Меньшая диагональ ромба $BD$ делит его на два треугольника. В треугольнике $ABD$ стороны $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба, а угол между ними $\angle BAD=60^{\circ }\text{.}$ Следовательно, треугольник $ABD$ является равносторонним.

Отсюда длина стороны ромба равна длине его меньшей диагонали:

$$AB=AD=BD=24.$$

Периметр ромба равен произведению длины его стороны на 4:

$$P=4\cdot AB=4\cdot 24=96.$$

Ответ: 96