Задача №10140

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD=127^{\circ }\text{.}$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD\text{.}$

1. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

2. По условию задачи, диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB\text{,}$ то есть:

Следовательно, $OC=AB\text{.}$

3. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB\text{.}$ Из этого получаем:

4. Рассмотрим треугольник $OCD\text{.}$ Так как $OC=CD\text{,}$ этот треугольник является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

5. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }\text{.}$ Для треугольника $OCD$ запишем:

Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $AC\text{,}$ угол $OCD$ совпадает с углом $ACD\text{,}$ то есть $\angle OCD=127^{\circ }\text{.}$ Подставим это значение в уравнение:

Угол между диагоналями параллелограмма определяется как острый угол при их пересечении. Так как полученный угол $\angle COD=26,5^{\circ }$ меньше $90^{\circ }\text{,}$ он и является искомым углом между диагоналями.