Задача №10139

1. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ она делит сторону $AC$ пополам:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{14}{2}=7$$

2. По условию в треугольнике $BMC$ стороны $BC$ и $BM$ равны ($BC=BM$), следовательно, данный треугольник является равнобедренным с основанием $MC\text{.}$

3. Отрезок $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ опущенная на сторону $AC\text{.}$ Так как точка $H$ лежит на отрезке $MC\text{,}$ $BH$ является высотой равнобедренного треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к его основанию $MC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ делит отрезок $MC$ пополам:

$$MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{7}{2}=3,5$$

4. Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=7+3,5=10,5$$

Ответ: 10,5