Задача №10138

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$

По свойствам ромба его диагонали взаимно перпендикулярны, а точка их пересечения делит диагонали пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом $AOB\text{,}$ а отрезок $AO$ равен половине диагонали $AC\text{:}$

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{30}{2}=15$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ гипотенуза $AB=3\sqrt{34}\text{,}$ катет $AO=15\text{.}$ По теореме Пифагора найдём катет $BO\text{:}$

$$BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{(3\sqrt{34}{)}^2-15^2}=\sqrt{9\cdot 34-225}=\sqrt{306-225}=\sqrt{81}=9$$

Тангенс угла $BAC$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO$ в прямоугольном треугольнике $AOB\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{9}{15}=0,6$$