Задача №10136

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB=58\text{,}$ $AC=84\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм — ромб. Следовательно, все стороны равны:
$AB=BC=CD=DA=58\text{.}$

2. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ Тогда:
$AO=\frac{AC}{2}=\frac{84}{2}=42\text{.}$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

4. Вычислим значение:

Значит, $BO=40\text{.}$

5. Тогда диагональ $BD$ равна:
$BD=2\cdot BO=2\cdot 40=80\text{.}$

Ответ: 80