Задача №10134

В ромбе противоположные углы равны, а соседние — в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Значит, есть два равных острых угла и два равных тупых угла.

Сумма двух углов равна $120^{\circ }\text{.}$ Это не могут быть два тупых угла (их сумма больше $180^{\circ }$) и не острый с тупым (их сумма равна $180^{\circ }$). Следовательно, это два острых угла, и каждый из них равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Диагональ, проведённая из вершины острого угла к противоположной вершине, отсекает треугольник, у которого две стороны — это стороны ромба (они равны, пусть $a$), а угол между ними равен $60^{\circ }\text{.}$ Такой треугольник равнобедренный с углом при вершине $60^{\circ }\text{,}$ значит он равносторонний, и третья сторона (диагональ) тоже равна $a\text{.}$

Эта диагональ лежит против острого угла, поэтому она меньшая. По условию меньшая диагональ равна 14, значит сторона ромба $a=14\text{.}$

Периметр ромба:

$$P=4a=4\cdot 14=56.$$

Ответ: 56.