Задача №10130

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=29\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A=\angle C\text{.}$ Из условия сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{:}$

2. В параллелограмме, если диагонали перпендикулярны, то это ромб. Следовательно, все стороны равны. По условию $AB=29\text{,}$ поэтому
$AB=BC=CD=DA=29\text{.}$

3. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ Тогда
$AC\perp BD$ и $\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A=30^{\circ }\text{.}$

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). В нём гипотенуза $AB=29\text{,}$ угол $\angle OAB=30^{\circ }\text{.}$ Катет $BO\text{,}$ лежащий против угла $30^{\circ }\text{,}$ равен:

5. Так как $O$ — середина диагонали $BD\text{,}$ то
$BD=2\cdot BO=2\cdot 14,5=29\text{.}$

Ответ: 29.