Задача №10125

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD\text{.}$

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

$$OC=\frac{1}{2}AC.$$

2. По условию задачи диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB\text{,}$ то есть:

$$AB=\frac{1}{2}AC.$$

Отсюда следует, что $OC=AB\text{.}$

3. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB\text{.}$ Таким образом, получаем:

$$OC=CD.$$

4. Рассмотрим треугольник $OCD\text{.}$ Поскольку $OC=CD\text{,}$ этот треугольник является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

$$\angle COD=\angle CDO.$$

5. Точка $O$ лежит на диагонали $AC\text{,}$ поэтому угол $OCD$ равен углу $ACD\text{:}$

$$\angle OCD=\angle ACD=104^{\circ }.$$

6. Сумма углов треугольника $OCD$ равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle COD+\angle CDO+\angle OCD=180^{\circ }.$$

Так как $\angle COD=\angle CDO\text{,}$ подставим известные значения:

$$2\angle COD+104^{\circ }=180^{\circ },$$ $$2\angle COD=76^{\circ },$$ $$\angle COD=38^{\circ }.$$

Угол между диагоналями параллелограмма (угол между пересекающимися прямыми) определяется как меньший из образованных углов. Так как $38^{\circ }⩽90^{\circ }\text{,}$ искомый угол равен $38^{\circ }\text{.}$

Ответ: $38^{\circ }\text{.}$