Задача №10119

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{.}$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть:

$$OC=\frac{1}{2}AC$$

По условию задачи, диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB\text{,}$ то есть $AC=2AB\text{,}$ откуда:

$$AB=\frac{1}{2}AC$$

Таким образом, $OC=AB\text{.}$

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то $CD=AB\text{.}$ Отсюда получаем:

$$CD=OC$$

Следовательно, треугольник $COD$ — равнобедренный с основанием $OD\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle ODC=\angle COD$$

Нам известно, что $\angle ACD=21^{\circ }\text{,}$ что совпадает с углом $\angle OCD\text{.}$ Сумма углов треугольника $COD$ равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle OCD+\angle ODC+\angle COD=180^{\circ }$$

Подставим известные значения:

$$21^{\circ }+2\angle COD=180^{\circ }$$ $$2\angle COD=159^{\circ }$$ $$\angle COD=79,5^{\circ }$$

Угол между пересекающимися прямыми (диагоналями) по определению является острым или прямым (не превышает $90^{\circ }$). Поскольку полученный угол $\angle COD=79,5^{\circ }$ меньше $90^{\circ }\text{,}$ он и является искомым углом между диагоналями.

Ответ: $79,5^{\circ }\text{.}$