Задача №10110 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC угол ABC равен 120^. Высота BK, проведённая к основанию, равна 27. Найдите боковую сторону AB.

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны равны (AB = BC), а AC — основание. Высота BK, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его биссектрисой. Следовательно, угол ABK равен: ABK = ( ABC)/(2) = (120^)/(2) = 60^. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (угол AKB = 90^). Найдём его острый угол BAK: BAK = 90^ - ABK = 90^ - 60^ = 30^. В прямоугольном треугольнике против угла в 30^ лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет BK лежит против угла BAK = 30^, поэтому: BK = (1)/(2) AB => AB = 2 * BK. Подставим значение высоты BK = 27: AB = 2 * 27 = 54.

54