На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120^, AC = 29. Найдите длину диаметра окружности.

Задача №10109: Планиметрия

Так как $A B$ — диаметр, а угол $A C B$ опирается на диаметр, то этот угол прямой:

∠ A C B = 9 0^{\circ} .

Центральный угол $∠ C O B$ и вписанный угол $∠ C A B$ опираются на одну и ту же дугу $C B,$ поэтому вписанный угол вдвое меньше центрального:

∠ C A B = \frac{1}{2} ∠ C O B = \frac{1}{2} \cdot 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ} .

В прямоугольном треугольнике $A C B$ с прямым углом при вершине $C$ катет $A C$ прилежит к углу $A,$ а $A B$ — гипотенуза. Тогда:

A B = \frac{A C}{cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{29}{0 , 5} = 58.

Ответ: 58.