Задача №10107

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ $BC=10\text{,}$ $\cos A=0,5\text{.}$ Найдите высоту $CH\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ значит $AB$ — гипотенуза, а $CA$ и $CB$ — катеты. Высота $CH$ опущена из вершины прямого угла на гипотенузу.

По условию $\cos A=0,5\text{,}$ поэтому угол $A=60^{\circ }\text{,}$ а угол $B=30^{\circ }\text{.}$

Катет $BC=10$ лежит против угла $A\text{.}$ Найдём гипотенузу из соотношения $\sin A=\frac{BC}{AB}\text{:}$

Катет $AC\text{,}$ прилежащий к углу $A\text{,}$ найдём из $\tan A=\frac{BC}{AC}\text{:}$

Площадь треугольника можно записать двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой:

Отсюда:

Ответ: 5.