В треугольнике ABC угол C равен 90^, BC = 10, cos A = 0,5. Найдите высоту CH.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90^, значит AB — гипотенуза, а CA и CB — катеты. Высота CH опущена из вершины прямого угла на гипотенузу. По условию cos A = 0,5, поэтому угол A = 60^, а угол B = 30^. Катет BC = 10 лежит против угла A. Найдём гипотенузу из соотношения sin A = (BC)/(AB): AB = (BC)/(sin A) = (10)/(sin 60^) = (10)/((sqrt(3))/(2)) = (20)/(sqrt(3)). Катет AC, прилежащий к углу A, найдём из tan A = (BC)/(AC): AC = (BC)/(tan A) = (10)/(tan 60^) = (10)/(sqrt(3)). Площадь треугольника можно записать двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой: S = (1)/(2)* AC * BC = (1)/(2)* AB * CH. Отсюда: CH = (AC * BC)/(AB) = ((10)/(sqrt(3))* 10)/((20)/(sqrt(3))) = ((100)/(sqrt(3)))/((20)/(sqrt(3))) = (100)/(20) = 5. Ответ: 5.

5