В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно так, что BM:AB = 1:2, а BK:BC = 5:8. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника MBK?

Задача №09921: Планиметрия

Пусть $S_{A B C}$ — площадь треугольника $A B C,$ а $S_{M B K}$ — площадь треугольника $M B K .$

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin ∠ B

S_{M B K} = \frac{1}{2} \cdot B M \cdot B K \cdot sin ∠ B

Разделим площадь треугольника $A B C$ на площадь треугольника $M B K :$

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = \frac{A B \cdot B C}{B M \cdot B K} = \frac{A B}{B M} \cdot \frac{B C}{B K}

Из условия задачи известны отношения сторон:

\frac{B M}{A B} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A B}{B M} = 2

\frac{B K}{B C} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{B C}{B K} = \frac{8}{5} = 1, 6

Подставим эти значения в полученное отношение площадей:

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = 2 \cdot 1, 6 = 3, 2

Таким образом, площадь треугольника $A B C$ больше площади треугольника $M B K$ в 3,2 раза.