Задача №09920

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенузой является $AB\text{,}$ а катеты — $AC$ и $BC\text{.}$ Высота $CH$ опущена из вершины прямого угла на гипотенузу.

Так как $\cos A=0,5\text{,}$ то $\angle A=60°\text{,}$ а $\angle B=30°\text{.}$

Катет $BC$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому $\sin A=\frac{BC}{AB}\text{.}$ Отсюда:

$$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{\sin 60°}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}.$$

Второй катет $AC$ прилежит к углу $A\text{:}$

$$AC=AB\cdot \cos A=8\sqrt{3}\cdot 0,5=4\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника можно записать двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой к ней:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CH.$$

Следовательно:

$$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{4\sqrt{3}\cdot 12}{8\sqrt{3}}=\frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=6.$$

Ответ: 6.