В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 12, cos A = 0,5. Найдите высоту CH.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C гипотенузой является AB, а катеты — AC и BC. Высота CH опущена из вершины прямого угла на гипотенузу. Так как cos A = 0,5, то A = 60°, а B = 30°. Катет BC лежит против угла A, поэтому sin A = (BC)/(AB). Отсюда: AB = (BC)/(sin A) = (12)/(sin 60°) = (12)/((sqrt(3))/(2)) = (24)/(sqrt(3)) = 8sqrt(3). Второй катет AC прилежит к углу A: AC = AB*cos A = 8sqrt(3)* 0,5 = 4sqrt(3). Площадь треугольника можно записать двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой к ней: S = (1)/(2)AC* BC = (1)/(2)AB* CH. Следовательно: CH = (AC* BC)/(AB) = (4sqrt(3)* 12)/(8sqrt(3)) = (48sqrt(3))/(8sqrt(3)) = 6. Ответ: 6.

6