Задача №09918 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC угол ABC равен 120^. Высота BK, проведённая к основанию AC, равна 11. Найдите длину стороны AB.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковые стороны равны: AB = BC. По условию, высота BK проведена к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, отрезок BK делит угол ABC = 120^ пополам: ABK = ( ABC)/(2) = (120^)/(2) = 60^. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (угол AKB = 90^). Найдём угол BAK: BAK = 90^ - ABK = 90^ - 60^ = 30^. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30^, равен половине гипотенузы. Катет BK лежит напротив угла BAK = 30^, а гипотенузой является сторона AB. Следовательно: BK = (1)/(2) AB => AB = 2 * BK. Подставим значение BK = 11: AB = 2 * 11 = 22. Ответ: 22.

22