Задача №09918

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковые стороны равны: $AB=BC\text{.}$

По условию, высота $BK$ проведена к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, отрезок $BK$ делит угол $\angle ABC=120^{\circ }$ пополам:

$$\angle ABK=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (угол $\angle AKB=90^{\circ }$). Найдём угол $\angle BAK\text{:}$

$$\angle BAK=90^{\circ }-\angle ABK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BK$ лежит напротив угла $\angle BAK=30^{\circ }\text{,}$ а гипотенузой является сторона $AB\text{.}$ Следовательно:

$$BK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BK.$$

Подставим значение $BK=11\text{:}$

$$AB=2\cdot 11=22.$$

Ответ: 22.