В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150^, AB = 42. Найдите длину биссектрисы BK.

1. Внешний угол треугольника и его внутренний угол при одной и той же вершине являются смежными, поэтому их сумма равна 180^. Найдем внутренние углы при вершинах A и C: BAC = 180^ - 150^ = 30^. BCA = 180^ - 150^ = 30^. 2. Поскольку BAC = BCA = 30^ , треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC . Отсюда следует, что: AB = BC = 42. 3. Биссектриса BK , проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой. Следовательно, BK AC и треугольник ABK — прямоугольный ( AKB = 90^ ). 4. В прямоугольном треугольнике ABK катет BK лежит против угла BAK = 30^ . По свойству прямоугольного треугольника, длина катета, лежащего против угла в 30^ , равна половине гипотенузы: BK = (AB)/(2) = (42)/(2) = 21.

21