Задача №09905

По условию в треугольнике $ABC$ медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, то есть является также его биссектрисой.

Поскольку в треугольнике $ABC$ биссектриса и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$ (то есть $AB=BC$).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является его высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом $M$ ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Так как $BM$ — биссектриса угла $B=120^{\circ }\text{,}$ то:

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{,}$ поэтому:

$$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BM$ лежит напротив угла $A=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM$$

Подставим известное значение $BM=29\text{:}$

$$AB=2\cdot 29=58$$

Ответ: 58.