Задача №09904 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC внешний угол при основании равен 150^, а медиана BM, проведённая к основанию, равна 46. Найдите боковую сторону треугольника ABC.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC сторона AC — основание, тогда AB = BC. 1. По условию, внешний угол при основании (при вершине C) равен 150^. Поскольку сумма смежных углов равна 180^, внутренний угол при основании равен: C = 180^ - 150^ = 30^. 2. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, углы при основании равны: A = C = 30^. 3. В равнобедренном треугольнике медиана BM, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, BM AC, и треугольник BMC является прямоугольным ( BMC = 90^). 4. В прямоугольном треугольнике BMC катет BM, лежащий против угла в 30^ ( BCM = 30^), равен половине гипотенузы BC: BM = (1)/(2) BC => BC = 2 * BM. Подставляя значение BM = 46, получаем: BC = 2 * 46 = 92. Боковая сторона треугольника ABC равна 92.

92